Система счисления - это код, в котором используют специальные символы для обозначения количества каких-либо объектов.

     Десятичная система имеет символы 0,1,2,3………..9 всего их 10, поэтому её иногда называют системой счисления с основанием 10.

     Двоичная система счисления имеет только 2 символа  0 и 1, поэтому её называют системой счисления с основанием 2. Символы десятичной системы счисления могут быть записаны в двоичной системе следующим образом:

                                                      Таблица 1                                                           

Заметим, что символы 0 и 1 в обеих системах совпадают. Рассмотрим число 648 в десятичной системе - его иногда записывают так: 648₁₀.      В этом числе:

            Цифра 6 обозначает 600, так как она занимают 3 разряд слева от десятичной точки,

            Цифра 4 обозначает 40, так как она занимает второй разряд от десятичной точки,

            Цифра 8 представляет число 8, поскольку она находится в первом разряде слева от десятичной точки, таким образом, всё число есть сумма:

648=600+40+8=6·10²+4·10¹+8·10⁰, где  (·) символ операции умножения. Этот пример иллюстрирует понятие «вес разряда». Аналогичное понятие «вес разряда»  используется и в двоичной системе.          Например, число 1011₂=2³·1+2²·0+2¹·1+2⁰·1

          Общее правило:         

Используя это правило, запишем веса десяти первых разрядов двоичной системы:                                                                                                                      

                                                                                                                                                          Таблица2    

1. Преобразование двоичных чисел в десятичные.

Пример 1

          Пусть двоичное число  110011 необходимо преобразовать в десятичное.

  1. Подписываем под таблицей 2 преобразовываемое число:

                                                               1              1                0              0              1             1 

2. Искомое десятичное число будет равно сумме произведений соответствующих разрядов двоичного числа  и их «весов» из таблицы 2:

110011₂=32·1+16·1+8·0+4·0+2·1+1·1=51₁₀.

Пример 2

1111101000₂ = 512·1+256·1+128·1+64·1+32·1+16·0+8·1+4·0+2·0+1·0 = 1000₁₀.

      Материал для самостоятельного решения:

      Преобразовать следующие двоичные числа в десятичные: 1₂,100₂,101₂,1011₂,1000₂,10000₂,11111₂,11001100₂,11111111₂.

2. Преобразование десятичных чисел в двоичные.

      Пусть 13₁₀ нужно перевести в двоичную систему счисления. Переход в этом случае осуществляется делением числа 13₁₀, на основание системы счисления в которую мы переходим, в целых числах с выписыванием остатков деления, по следующей схеме:

Пример 3

13:2 = 6   остаток 1  это разряд весом 1

6 : 2 = 3   остаток 0  это разряд весом 2

3 : 2 = 1   остаток 1  это разряд весом 4

1 : 2 = 0   остаток 1  это разряд весом 8

Помня о том, что самый младший разряд всегда занимает крайнее правое место в записанном числе в любой системе счисления, выписываем результат:

13₁₀ = 1101₂.

Процесс перехода заканчивается  в тот момент, когда очередной результат деления даст ноль (0) целых.

Вывод: остатки, от деления, выписанные в соответствии с весами разрядов, дадут искомое число.

Переведем еще одно число 37₁₀ в двоичную систему счисления:

Пример 4

37:2 = 18 остаток 1   

18:2 = 9   остаток 0      

 9 : 2 = 4   остаток 1      

4 : 2 = 2   остаток 0      

2 : 2 = 1   остаток 0 

1 : 2 = 0   остаток 1   

Отсюда 34₁₀ = 100101₂. Деление заканчивается в тот момент, когда имеем частное равное 0.     

Материал для самостоятельного решения:

0₁₀,1₁₀,18₁₀,25₁₀,32₁₀,64₁₀,69₁₀,128₁₀,145₁₀,1001₁₀.

3. Шестнадцатиричные числа.

В шестнадцатиричной системе счисления , согласно определению, должно быть 16 различных символов перечислим их 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A, B, C, D, E, F.                     

Буква A обозначает число 10

           B обозначает число 11

           И.т.д.

Преимущество шестнадцатиричной системы  состоит в том, что она позволяет  реализовывать переход от шестнадцатиричной к двоичной системе счисления достаточно просто, используя тетрады ( tetra в переводе с греческого означает четыре) двоичных символов.

Например: символ F в шестнадцатиричной системе соответствует четырёхразрядному числу 1111₂ . Двухразрядное двоичное число А6₁₆ = 10100110₂.                                      Для перехода от двоичной к шестнадцатиричной системе счисления используют следующую таблицу соответствия:

                                                                                                                                                           Таблица 3

4. Переход от шестнадцатиричной системы к двоичной.

     Пусть мы хотим перейти от шестнадцатиричного числа   С 3₁₆ к его двоичному эквиваленту. Для этого необходимо  по таблице 3 найти тетраду для цифры С₁₆, затем по той же таблице найти тетраду для цифры  3₁₆ и после этого  записать найденные тетрады в том порядке в каком стояли цифры С₁₆ и  3₁₆ в исходном шестнадцатиричном  числе.

  С₁₆  - 1100₂ 

  3₁₆   - 0011₂ 

   С 3₁₆  = 11000011₂

       Замечание: при использовании таблицы 3 для перехода необходимо всегда помнить, что мы работаем только с тетрадами, то есть нельзя брать вместо одной шестнадцатиричной цифры двоичный эквивалент меньше четырех двоичных знаков!

     Еще один пример.

Пример 5

29₁₆=00101001₂.

Материал для самостоятельного решения:

Преобразовать следующие шестнадцатиричные числа в двоичные:

8A₁₆, B7₁₆, 6C₁₆, FF₁₆, 35₁₆, 58₁₆, 99₁₆, F2₁₆, 123₁₆, 350₁₆.

5. Переход от двоичной к шестнадцатиричной системе.

    Этот переход  производится по той же таблице 3, только предварительно необходимо: разбить исходное двоичное число на тетрады начиная с крайнего правого разряда. После этого  тетрады  в исходном числе заменяют соответствующими шестнадцатиричными символами. Например:

Пример 6

11101010₂ = Х₁₆.

1110₂ = Е₁₆.

1010₂ = А₁₆. Поэтому    11101010₂ = ЕА₁₆.

Материал для самостоятельного решения:

1111101₂, 111111100011₂,  101010101₂, 10000011101₂, 110101110001₂, 11001₂, 111010001₂.

6. Переход от шестнадцатиричной системы к десятичной.

     Переход от шестнадцатиричной системы к двоичной осуществляется по тому же алгоритму, что и переход от двоичной системы к десятичной. Разница состоит в том, что вес разряда в шестнадцатиричной системе представляет собой натуральную степень числа 16, так как 16 в данном случае является основанием системы счисления. Сетка младших четырех разрядов шестнадцатиричной системы  представлена в таблице 4.

                                                                                                                 Таблица 4

Пример 7

2DB₁₆=X₁₀

2DB₁₆=2·16²+D·16¹+B·16⁰ = 2·256 + 13(D₁₆)·16 + 11(B₁₆)·1= 731₁₀.

Пример 8

2C6E₁₆=2·16³+C·16²+6·16¹+E·16⁰=2·4096+12·256+6·16+14·1=11374₁₀.

Материал для самостоятельного решения:

35₁₆, 38₁₆, 4А₁₆, А4₁₆, В5₁₆, 1В₁₆, 18₁₆, 1F₁₆, 1C₁₆.

7. Переход от десятичной системы счисления к шестнадцатиричной.

Переход в этом случае осуществляется делением исходного числа , на основание системы счисления в которую мы переходим, в целых числах с выписыванием остатков деления, по схеме, которую мы уже использовали в пункте 2 настоящей главы.

Пример 9

47₁₀=X₁₆.

47₁₀ : 16 = 2  остаток 15 - F  разряд весом 1. (16⁰)

2₁₀   : 16 = 0  остаток   2 - 2 разряд весом 16. (16¹)

Поэтому 47₁₀=2F₁₆.

Остатки представленные в шестнадцатиричном виде с учетом веса разряда и дают искомое шестнадцатиричное число.  

Материал для самостоятельного решения:

Преобразовать следующие десятичные числа в шестнадцатиричные:

100₁₀, 51₁₀, 45₁₀, 99₁₀, 76₁₀, 32₁₀, 48₁₀, 21₁₀, 77₁₀.